Een oneindig aantal wiskundigen komt de bar binnen

Een oneindig aantal wiskundigen loopt een bar binnen. De eerste bestelt een biertje, terwijl de tweede zegt: "Ik wil de helft hebben van wat hij heeft besteld." De derde herhaalt die zin (verwijzend naar de tweede wiskundige) en dat geldt ook voor de vierde en vijfde enzovoort. Na vijf of zes van deze bestellingen zet de barman twee biertjes op de toonbank en zegt: “jullie kennen je grenzen.” Oneindige reeksen – De som van oneindig veel getallen, variabelen of functies die een bepaalde regel volgen. Zij zijn "nuttig voor het vinden van benaderende oplossingen voor moeilijke problemen en voor het illustreren van subtiele punten van wiskundige nauwkeurigheid.En... dat is het dan ook.

Behalve… ze zijn ook uitstekend geschikt voor het visualiseren van wiskundige fractals in gegevens. Vorige week bespraken we dynamische systemen en hoe ze zeer voorspelbare patronen volgen (met verval). Ze beginnen altijd met een korte golf, gevolgd door een lange, gevolgd door een langere korte golf en een kortere lange golf, oneindig lang. Deze week laten we voorbeelden zien van hoe ze er in werkelijkheid uitzien en laten we zien hoe een oneindige reeks gegevens samensmelt tot zeer voorspelbare patronen.

De afbeeldingen hierboven laten (progressief) zien hoe een wiskundige fractal wordt opgebouwd met steeds meer gegevens. De eerste afbeelding toont een reeks stippen die geen relatie met elkaar lijken te hebben. Bij afbeelding drie begint zich echter een variabel patroon te manifesteren, waarbij pieken en dalen met een terugkerende frequentie verschijnen. Afbeelding zes toont het begin van nog grotere golven met meerdere kleinere golven in serie, terwijl afbeeldingen zeven, acht, negen en tien die voortdurende herhaling laten zien. Als je dit proces voor onbepaalde tijd voortzet, zul je steeds weer precies hetzelfde beeld tegenkomen. Er zijn eigenlijk meerdere fractals in deze afbeeldingen. U zult merken dat de boven- en onderkant van elke afbeelding op kleine schaal enigszins verschillen en steeds meer op elkaar lijken met meer gegevens. Eigenlijk tonen deze afbeeldingen een 2D-weergave van een 3D-structuur (Hopf-vezels)… dus ze zijn niet zo visueel aantrekkelijk als de afbeeldingen van fractals die je vaak hebt gezien,

maar ze zijn representatief voor een oneindige reeks gegevens die zo ver gaan dat ze hun grenzen bereiken voordat ze van richting veranderen om vervolgens nieuwe grenzen te vinden. Wij hebben dit besproken op onze blog over grenzen.

Hoe verhoudt dit zich tot de markten?

Ten eerste, en het allerbelangrijkste, bewegen de markten niet zijwaarts met herhaalde schommelingen, zoals weergegeven in de bovenstaande afbeeldingen. Idealiter (vooral in de indices) waarderen de markten in de loop van de tijd. Daarom moet de prijs uit de overweging worden geëlimineerd. Wanneer dit geëlimineerd wordt, blijft Tijd over als de enige importeerbare variabele. Bijvoorbeeld:

Deze grafiek toont de S&P over de afgelopen zes maanden. Prijs drijft de markt lager, maar binnen dat grotere pad zijn er meerdere pieken en dalen waaruit de fractal bestaat. De pieken en dalen zijn lang niet zo goed gedefinieerd als in de ruwe fractal, maar dat zal wel zo zijn zodra de prijs buiten beschouwing wordt gelaten. Voila:

Dit beeld is exact dezelfde gegevens als weergegeven in het S&P-beeld hierboven. Alleen hebben we het door een Fourier-transformatie geleid (dit onderwerp zal op een later tijdstip worden onderzocht). Het resultaat is een goed gedefinieerd fractaal patroon met pieken en dalen die in kaart kunnen worden gebracht en verhandeld. Projecteer dat patroon bijvoorbeeld naar voren via golf-/groepssnelheidsfuncties en we krijgen te zien hoe die fractal er de komende zes maanden uitziet (ziet er eigenlijk een beetje bullish uit).

Een Fourier-transformatie (FT) is een wiskundige transformatie die functies afhankelijk van ruimte of tijd ontleedt in functies die afhankelijk zijn van ruimtelijke frequentie of temporele frequentie. – wiki

Net als bij de biergrap om dit artikel te openen, opereert elke fractal binnen een door de tijd gedefinieerde grens en geïdentificeerd via oneindige reeksvergelijkingen. Deze grenzen kunnen tweedimensionaal worden gezien in gegevens die alleen door de tijd worden bepaald. De financiële markten hebben ook grenzen, maar die zijn niet waarneembaar vanwege prijsstijgingen en -dalingen. Pas wanneer die gegevens via een fractal worden waargenomen, verschijnen ze. Oneindige reeksen is hoe die waarneming wordt gedaan.